|
|
 |
Условие
На гранях единичного куба отметили восемь точек, которые служат вершинами меньшего куба.
Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.
Решение
Пусть длина ребра меньшего куба равна a < 1. Раскрасим его вершины в чёрный и белый цвета так, чтобы вершины, соединённые ребром, были окрашены в разные цвета. Тогда расстояние между каждыми двумя точками одного цвета равно . Назовём две чёрные и две белые вершины, принадлежащие одной грани меньшего куба, соответствующими. Рассмотрим четыре белые вершины. Куб имеет три пары противоположных граней, следовательно, по принципу Дирихле какие-то две белые вершины принадлежат одной паре противоположных граней большего (единичного) куба. Возможны два случая.
1) Две белые вершины оказались в одной грани единичного куба. Тогда две соответствующие им чёрные вершины принадлежат той же грани единичного куба (иначе одна из чёрных вершин лежала бы вне большего куба). Более того, эти четыре точки обязаны лежать на рёбрах большего куба, так как иначе вершины противоположной грани меньшего куба лежали бы строго внутри единичного куба. Получаем квадрат со стороной a, вписанный в единичный квадрат (см. рис.). Пусть вершины меньшего квадрата разбивают стороны большего на отрезки длин x и 1 – x. Тогда
a² = x² + (1 – x)² ≥ ½ (x + 1 – x)² = ½, поэтому Когда x пробегает полуинтервал (0, ½], искомая длина a принимает все значения из полуинтервала
При этом все вершины получающегося малого куба будут лежать на гранях единичного куба.
