ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66094
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Разложение на множители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две непостоянные прогрессии (an) и (bn), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  a1 = b1a2 : b2 = 2  и  a4 : b4 = 8.
Чему может быть равно отношение  a3 : b3?


Решение

  Пусть  a1 = b1 = a ≠ 0,  разность арифметической прогрессии равна  d ≠ 0,  а знаменатель геометрической –  q ≠ 1.  Возможны два случая.
  1) (an) – арифметическая прогрессия, а (bn) – геометрическая. Тогда по условию  a + d = 2aq,  a + 3d = 8aq3,  или  d = a(2q – 1),  3d = a(8q3 – 1) = d(4q2 + 2q + 1),  2q2 + q – 1 = 0,  откуда  q = ½  или  q = – 1.
  Если  q = ½,  то  d = a(2q – 1) = 0,  что противоречит условию.
  Если  q = –1,  то  d = –3a  и  a3/b3 = a+2d/aq2 = –5.
  2) (an) – геометрическая прогрессия, а (bn) – арифметическая. Тогда  2(a + d) = aq,  8(a + 3d) = aq3,  поэтому  2d = a(q – 2),  24d = a(q3 – 8) = 2d(q2 + 2q + 4),
q2 + 2q – 8 = 0,  откуда  q = 2  или  q = – 4.  В первом случае снова  d = 0,  а во втором  q = –4,  d = – 3a  и  a3/b3 = aq2/a+2q = – 16/5.


Ответ

–5 или –3,2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .