ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66104
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы сторон многоугольников ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан правильный 12-угольник A1A2...A12.
Можно ли из 12 векторов    выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?


Решение

Отложим векторы, равные данным, из одной точки. Они поделят полный угол при ней на углы по 30°. Возьмём любые три вектора, образующие между собой углы по 120°. Сумма этих векторов нулевая. Среди оставшихся девяти векторов есть три пары противоположных. Добавив две такие пары к трём выбранным векторам, получим искомую семёрку.


Ответ

Можно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
1
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 классласс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .