ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66108
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Производная и касательная ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?


Решение 1

Графики  y = ⅛ (x² + 6x – 25)  и  y = ⅛ (25 + 6 – x²)  имеют оси  x = ±3,  а пересекаются при  x = ±5.  Произведение тангенсов углов наклона касательных в точках пересечения равно  1/64 (2·5 + 6)(6 – 2·5) = –1.  Значит, касательные в этих точках перпендикулярны.


Решение 2

Рассмотрим параболу  y = x².  Найдём на ней две точки A и B с разными ординатами, в которых касательные a и b перпендикулярны. Отразим параболу относительно середины O отрезка AB. У новой параболы касательная в точке A параллельна b, то есть перпендикулярна a. Аналогична ситуация в точке B. Поскольку точка O не лежит на оси ординат, оси парабол не совпадают.


Ответ

Неверно.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
1
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 классласс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .