ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66109
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.


Решение

Из условия следует, что хотя бы у одного участника не меньше половины игр было с земляками. Так как он сыграл 9 игр, то шахматистов из его города не меньше шести (вместе с ним). Значит, в каждом туре была игра между участниками из этого города.

Замечания

1. Если из какого-то города было ровно шесть шахматистов, то уже они сыграли 24 партии с неземляками, что больше половины всех игр. Значит, участников из одного города не меньше семи, а потому в каждом туре были даже две игры между земляками.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 80
Год 2017
класс
Класс 9
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .