ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66111
Темы:    [ Ограниченность, монотонность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает  (a1 > a2 > a3 > a4 > a5),  а начиная с a5 – возрастает  (a5 < a6 < a7 < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?


Решение

  а) Пример 1. Возьмём число 2 и 1024 числа, равных ½. Тогда  an = 2n + 1024·2n = 32(2n–5 + 25–n).  Сумма двух положительных взаимно обратных чисел тем меньше, чем ближе они друг к другу. Поэтому построенная последовательность убывает до  n = 5,  а потом возрастает.
  Пример 2. Возьмём  an = 1,02n + 0,5n.  Заметим, что  an+1 > an  ⇔  0,02·1,02n > 0,5n+1  ⇔  2,04n > 25  ⇔  n ≥ 5.  То есть последовательность убывает до  n = 5,  а потом возрастает.

  б) Предположим, такое случилось.
  Первый способ. Тогда  an < a5  для любого n. Среди исходных чисел было число  x > 1,  иначе бы последовательность никогда не возрастала. Заметим, что  an > xn  для любого n. А последовательность xn не ограничена. Противоречие.
  Второй способ. Тогда  a4 < a5  и  a6 < a5,  то есть  a4 + a6 < 2a5.  Значит,  x4 + x6 < 2x5  хотя бы для одного из исходных чисел x. Но это противоречит неравенству Коши.


Ответ

а) Могло;  б) не могло.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 4 + 4, 10-11 кл. – 3 + 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .