|
|
 |
Условие
Вес каждой гирьки набора – нецелое число грамм. Ими можно уравновесить любой целый вес от 1 г до 40 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каково наименьшее число гирь в таком наборе?
Решение
Пример 1. Возьмём гири в 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43 г. Первыми двумя можно взвесить любой целый вес до 2 г. Значит, первыми тремя – до 5 г, четырьмя – до 10 г, пятью – до 21 г, шестью – до 42 г, семью – до 85 г. Уменьшим вес каждой гири в два раза. Теперь все гирьки весят нецелое число грамм, и ими можно взвесить любой целый или полуцелый вес от 0,5 до 42,5 г.
Пример 2. Гирями 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 г можно взвесить любой целый вес до 127 г. Оставим от каждой гири лишь треть. Веса гирек станут нецелыми, и ими можно будет взвесить любой целый вес до 42 г.
Оценка. Предположим, что в наборе 6 гирь. Различных поднаборов – 26 = 64. Покрасим одну гирю в жёлтый цвет и разобьём поднаборы на пары, отличающиеся только наличием в них жёлтой гири. Поскольку веса парных поднаборов отличаются нецелым весом жёлтой гири, то максимум один из них может иметь целый вес в граммах. Поэтому поднаборов с целым весом не более 32, и 40 различных целых весов этим набором гирь не набрать.
Ответ
7 гирь.
Замечания
8 баллов.
