ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66144
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что окружность, построенная на стороне AB треугольника ABC как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона AB равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.


Решение

  Пусть I и Ic – центры вписанной и вневписанной окружностей, r и rc – их радиусы, C1 и C2 – точки их касания со стороной AB, C0 – середина этой стороны, a, b и c – длины сторон треугольника, p – его полупериметр (см. рис.). Тогда  AC1 = BC2 = p – a,  BC1 = AC2 = p – bC0C1 = C0C2 = |b–a|/2  (см. задачу 55483). Вписанная окружность касается окружности с диаметром AB тогда и только тогда, когда  C0I1 = c/2r.  По теореме Пифагора это эквивалентно равенству  (c/2r)² = r² + (b–a/2)²,  то есть  rc = (p – a)(p – b) = rrc  (см. задачу 57600 а), откуда и следует утверждение задачи.

Замечания

1. Условие  c = rc  равносильно также каждому из двух следующих условий:
  - сумма длин стороны AB и опущенной на неё высоты равна сумме длин двух других сторон;
  - cos C/2 = cos A/2 cos B/2.

2. Более общий факт: если зафиксировать вершины A и B и радиус rc вневписанной окружности, то вписанные окружности всех таких треугольников касаются одной окружности, проходящей через A и B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2017-04-16
класс
Класс 10-11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .