|
|
 |
Условие
Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.
Решение
Рассмотрим описанную окружность треугольника A0BC0. Заметим, что точка I диаметрально противоположна точке B (поскольку ∠BC1I = 90°). Согласно решению задачи 108600 точки H и I симметричны относительно середины K отрезка A0C0, то есть достаточно доказать, что точки M, I и K лежат на одной прямой (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть T – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной AC. Как известно, точка M – середина отрезка TB1, а прямая BT проходит через точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке B1. Следовательно, прямая MI содержит среднюю линию треугольника BB1T, а значит, делит BB1 пополам.
Из равенства вписанных углов и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
∠A0C0B = ∠A0A1B = ∠CA1B1 = ∠CB1A1 = ∠B1C1A1 = ∠C0A0A1, откуда следует параллельность BC0 || B1A0. Аналогично BA0 || B1C0. Таким образом, BA0B1C0 – параллелограмм, а значит, середина его диагонали совпадает с точкой K.
Для других случаев расположения точек A0 и C0 доказательство аналогично.
Второй способ. Поскольку ∠BA0I = 90°, то согласно задаче 115617 точка A0 лежит на биссектрисе угла A. Аналогично C0 лежит на биссектрисе угла C (рис. справа). Медиана прямоугольного треугольника BC0C, проведённая к гипотенузе, очевидно, параллельна AC, то есть C0 (и аналогично A0) лежит на средней линии треугольника ABC. Значит, AC0A0C – трапеция. Осталось воспользоваться замечательным свойством трапеции.
