ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66145
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.


Решение

  Рассмотрим описанную окружность треугольника A0BC0. Заметим, что точка I диаметрально противоположна точке B (поскольку  ∠BC1I = 90°). Согласно решению задачи 108600 точки H и I симметричны относительно середины K отрезка A0C0, то есть достаточно доказать, что точки M, I и K лежат на одной прямой (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Пусть T – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной AC. Как известно, точка M – середина отрезка TB1, а прямая BT проходит через точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке B1. Следовательно, прямая MI содержит среднюю линию треугольника BB1T, а значит, делит BB1 пополам.
  Из равенства вписанных углов и теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
A0C0B = ∠A0A1B = ∠CA1B1 = ∠CB1A1 = ∠B1C1A1 = ∠C0A0A1,  откуда следует параллельность  BC0 || B1A0.  Аналогично  BA0 || B1C0.  Таким образом, BA0B1C0 – параллелограмм, а значит, середина его диагонали совпадает с точкой K.
  Для других случаев расположения точек A0 и C0 доказательство аналогично.

  Второй способ. Поскольку  ∠BA0I = 90°,  то согласно задаче 115617 точка A0 лежит на биссектрисе угла A. Аналогично C0 лежит на биссектрисе угла C (рис. справа). Медиана прямоугольного треугольника BC0C, проведённая к гипотенузе, очевидно, параллельна AC, то есть C0 (и аналогично A0) лежит на средней линии треугольника ABC. Значит, AC0A0C – трапеция. Осталось воспользоваться замечательным свойством трапеции.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2017-04-16
класс
Класс 10-11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .