ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66148
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.


Решение

  Поскольку  BC || AD,  а прямая ZC касается окружности ω, то  ∠ADB = ∠YBC = ∠YCZ.  Следовательно, четырёхугольник CYDZ – вписанный (см. рис.).

  Значит,  ∠CYZ = ∠CDZ = ∠XBC = 180° – ∠CYX.  Таким образом,  ∠CYZ + ∠CYX = 180°,  поэтому точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .