ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66155
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые l1 и l2. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на l1, равны, и отрезки, высекаемые графиками на l2, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.


Решение

  Пусть  f1(x) и  f2(x) – данные приведённые квадратные трёхчлены, а параболы Г1 и Г2 – их графики. Тогда существует единственный параллельный перенос, при котором парабола Г1 переходит в Г2 (это перенос на вектор a, соединяющий вершины парабол).
  Пусть прямая l1 пересекает Г1 в точках A1 и B1, а Г2 – в точках A2 и B2 так, что     При параллельном переносе параболы Г1 на вектор    получается парабола Г3, являющаяся графиком приведённого трёхчлена  f3(x), которая пересекает l1 в тех же точках, что и Г2. Значит, разность  f2(x) – f3(x)  имеет хотя бы два корня (абсциссы точек A2 и B2). Но поскольку степень многочлена  f2(x) – f3(x)  не выше 1, то  f2(x) ≡ f3(x),  то есть  Г3 = Г2.  Значит, вектор a параллелен прямой l1.
  Аналогично  a || l2,  тем самым  a = 0  и  Г1 = Г2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .