ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66205
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно.
Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.


Решение

Пусть окружность пересекает стороны AB, BC, CD, DA в точках K1, K2, L1, L2, M1, M2, N1, N2. Тогда K1K2M2M1 – равнобокая трапеция, то есть  AK1DM1 = BK2CM2,  или  AK1 + CM2 = BK2 + DM1.  Значит, проекции отрезков A0C0 и B0D0 на AB, равные соответственно  AB – ½ (AK1 + CM2)  и  AB – ½ (BK2 + DM1),  равны между собой. Аналогично равны проекции этих отрезков на BC, а следовательно и сами отрезки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
тур
неизвестно
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .