Задача 66206

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Плотников М.

I – центр вписанной окружности треугольника ABC,  H_B, H_C – ортоцентры треугольников ABI и ACI соответственно, K – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной BC. Докажите, что точки H_B, H_C и K лежат на одной прямой.

Решение

Так как прямые BH_B и CH_C перпендикулярны AI,  то  BH_BCH_C – трапеция и её диагонали делят друг друга в отношении  BH_B : CH_C.  Поскольку проекции M, N точек H_B, H_C на AB и AC являются точками касания вписанной окружности с соответствующими сторонами, то
BM = BK,  CN = CK.  Кроме того, так как  ∠H_BBM = 90° – ^∠A/₂ = ∠H_CCN,  то прямоугольные треугольники H_BBM и H_CCN подобны. Следовательно,  BH_B : CH_C = BM : CN = BK : CK,  то есть точка пересечения диагоналей трапеции совпадает с K (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	3