Задача 66207

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Композиции поворотов ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. На стороне AB как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник ABC' с углом при вершине 120°, а на стороне AC построен во внутреннюю сторону правильный треугольник ACB'. Точка K – середина отрезка BB'. Найдите углы треугольника KCC'.

Решение

Построим параллелограмм B'C'BC''. Композиция поворотов вокруг C' на 120° и C на 60° переводит B в B' и, значит, является центральной симметрией относительно K (см. рис.). При этой центральной симметрии C' переходит в C'', значит, треугольник СС'C'' – равносторонний, а так как K – середина С'C'', то  CK ⊥ C'K  и ∠C'CK = 30°.

Ответ

90°, 30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	4