ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66214
Темы:    [ Системы точек ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?


Решение

  Рассмотрим наименьшую из окружностей ω. Пусть она описана вокруг треугольника ABC, а O – её центр. Если треугольник ABC не равносторонний, то какой-то из его углов, например угол C, меньше 60°. Но тогда  ∠C < ∠AOB < 120°,  то есть  sin∠AOB > sin∠C.  По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника AOB меньше радиуса ω. Противоречие.

  Если же треугольник ABC правильный, то вместе с точками A, B, C, O отмеченными будут центры A', B', C' описанных окружностей треугольников BOC, COA, AOB. Но, например, треугольник AOB' правильный, причём его сторона меньше AB, а значит, радиус описанной окружности меньше, чем у ω.


Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
тур
задача
Номер 11

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .