ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66230
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что  CG = DF.  Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.


Решение

  Очевидно, что F лежит на прямой CD. Так как  CG = DF,  то  FG = CD = AB,  то есть ABGF – параллелограмм, и  ∠BGD = 180° – ∠AFD = ∠AED.  Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что  ∠BGE < ∠EGD  или что расстояние от точки E до прямой BG меньше, чем до прямой CD. Но расстояние от E до CD равно расстоянию до AF, поскольку FE – биссектриса угла DFA, так что достаточно доказать, что E лежит ближе к BG, чем к AF.

  Прямая, проходящая через E параллельно AB, пересекает AF в центре O построенной окружности (см. рис.). Следовательно,  EO > AD/2 = AB/2,  что равносильно искомому неравенству.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .