|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC AA', BB' и CC' – высоты. Точки Ca, Cb симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки Ab, Ac, Bc, Ba. Докажите, что прямые AbBa, BcCb и CaAc параллельны.
Решение
Как известно, прямые A'A, B'B, C'C являются биссектрисами треугольника A'B'C' (см. задачу 52866). Поэтому, например, точки Ab, Ba лежат на прямых B'C', A'C' соответственно и B'Ab = A'Ba = A'B'.
Первый способ. Лемма. На сторонах XZ, YZ треугольника XYZ взяли такие точки Y', X', что XY' = XY = X'Y. Тогда X'Y' ⊥ OI, где O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника.
Доказательство. Достаточно убедиться, что X'O² – Y'O² = X'I² – Y'I² (см. задачу 57134)). Пусть x, y, z – длины сторон YZ, ZX, XY; K – середина YZ. Тогда X'O² – YO² = X'K² – Y'K² = (z – x/2)² – (x/2)² = z(z – x). Аналогично Y'O² – XO² = z(z – y). Кроме того, X'I² = r² + (z – (p – y))² = r² + (p – x)²,
Y'I² = r² + (p – y)². Следовательно, X'O² – Y'O² = X'I² – Y'I² = z(y – x).
По лемме прямая AbBa перпендикулярна прямой, соединяющей центры описанной и вписанной окружностей треугольника A'B'C'. Прямые BcCb и AcCa также перпендикулярны этой прямой, следовательно все три прямые параллельны.
Второй способ. Поскольку A'Ba = A'B' и A'Ca = A'C', то B'Ba || C'Ca, значит, B'Ba : C'Ca = A'B' : A'C' = B'Ab : C'Ac. Следовательно, треугольники B'AbBa и AcCaC' подобны, ∠BaAbB' = ∠CaAcC' и AbBa || AcCa. Аналогично доказывается, что BaCb также параллельна этим прямым.
