ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66235
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD перпендикулярны. Из точки D опущен перпендикуляр DE на сторону AB, а из точки C – перпендикуляр CF на прямую DE. Докажите, что  ∠DBF = ½ ∠FCD.


Решение

 EDB = 45° – (90° – ∠A) = ∠A – 45° = ∠BDC.  Значит, точка B равноудалена от прямых DE и DC. Поскольку трапеция равнобедренная, расстояние от B до DC равно расстоянию от C до AB, которое, в свою очередь, равно расстоянию от B до параллельной AB прямой CF. Следовательно, BF – биссектриса угла CFE, то есть  ∠BFC = 45°.  Пусть перпендикуляр к BF, восставленный из точки F, пересекает BD в точке K. Тогда
CFK = ∠CBK = 45°,  значит, четырёхугольник BFKC вписанный и  CKBC.  Так как  CF || AB,  то прямая CK является биссектрисой угла FСВ, и  ∠DBF = ∠KCF = ½ ∠FCD  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .