ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66236
Темы:    [ Треугольник (построения) ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте на сторонах BC, CA, AB точки A', B', C' так, чтобы выполнялись следующие условия:
  - A'B' || AB;
  - C'C – биссектриса угла A'C'B';
  - A'C' + B'C' = AB.


Решение

  Пусть L – точка пересечения отрезков CC' и A'B'. Тогда  BC' : AC' = A'L : B'L = A'C' : B'C'  и из равенства  A'C' + B'C' = AB  получаем, что  BC' = C'A',  AC' = C'B'.  Поэтому точки CA и CB, симметричные C' относительно AC и BC лежат на прямой A'B', а AC'B'CA – ромб.
  ∠CC'B' = ∠CCACB = ∠CCBCA = ½ (180° – 2∠C) = 90° – ∠C,  значит,  ∠B'CC' = ∠AB'C – ∠CC'B' = ∠A – (90° – ∠C) = 90° – ∠B,  то есть прямая CC' проходит через центр описанной окружности (см. рис.). Теперь построение очевидно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .