Задача 66240

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Авторы: Руденко А., Хилько Д.

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Решение

Опустим перпендикуляр H₃P на прямую AC. Так как треугольник H₃PH₂ прямоугольный, а M – середина его гипотенузы, то  MP = MH₂  и
∠MPH₂ = ∠MH₂A.  Как известно,  ∠B = ∠H₁H₂C = ∠H₃H₂A,  значит,  MP || KH₂.  Треугольники AH₂H₃ и ABC подобны, поэтому
AM : AK = AP : AH = AH₃ : AB,  откуда  H₃M || BK  (см. рис.). Пусть прямая BK пересекает сторону в точке L. Поскольку прямая AK содержит медиану треугольника AH₃H₂, то она является медианой треугольника ABL. Это и значит, что K лежит на средней линии, параллельной AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	13