Задача 66248

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Якубов А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

Решение

  Пусть K – точка пересечения прямых AB и CD. Так как углы OM₁K и OM₂K прямые, OK – диаметр окружности ω. Поскольку  X₁X₂ ⊥ OK,  для решения задачи достаточно доказать, что дуги KY₁ и KY₂ равны, то есть что  ∠KM₁Y₁ = ∠KM₂Y₂.
  Пусть N₁, N₂ – вторые точки пересечения окружностей ω₁ и ω₂ с AB и CD соответственно. Тогда  KM₁·KN₁ = KC·KD = KA·KB,  следовательно,  N₁K·N₁M₁ = N₁A·N₁B.  Таким образом, степени точки N₁ относительно окружностей Ω и ω₂ равны, то есть N₁ лежит на прямой M₂Y₂. Аналогично N₂ лежит на прямой M₁Y₁ (см. рис.). Но четырёхугольник M₁M₂N₂N₁, очевидно, вписанный, откуда и следует требуемое равенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	21