|
|
 |
Условие
В точке X сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках A, B и C, блокируют его, то есть точка X лежит внутри треугольника ABC. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)?
Решение 1
Очевидно, что в первый вечер полицейские окажутся в вершинах равнобедренного треугольника и в дальнейшем это условие будет всегда выполнено. Поэтому можно считать, что и в начале AC = BC. Пусть O, R – центр и радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда, так как OC ⊥ AB, а X лежит внутри треугольника ABC, то проекция X на высоту CD лежит между C и D. Поэтому
XC² – XO² < CD² – DO² = AC² – AO², или XC² – AC² < XO² – R². Аналогично OX² – R² < O'X² – R'², где O', R' – центр и радиус описанной окружности нового треугольника, образованного полицейскими. Таким образом, степень точки X относительно описанной окружности образованного полицейскими треугольника каждый вечер увеличивается, следовательно, полицейские не могут вернуться в исходные точки.
Решение 2
Пусть A – вершина исходного треугольника, ближайшая к X, а O – центр описанной окружности. Легко видеть, что X не может принадлежать треугольнику OBC, то есть A является вершиной нового треугольника, содержащего X. Следовательно, при переходе к новому треугольнику расстояние от X до ближайшей вершины не увеличивается.
То же будет и на следующих шагах. Если последовательность треугольников замыкается, то расстояние остается постоянным и A является вершиной всех последовательных треугольников, содержащих X. Эти треугольники равнобедренные, причём A является вершиной основания, то есть угол в этой вершине острый. Поэтому один из лучей BO, CO проходит внутри треугольника.
Продолжим отрезок AX до пересечения с BC в некоторой точке Y.
Поскольку один из лучей BO, CO пересекает отрезок AY, то расстояние XY при переходе к следующему треугольнику уменьшается, следовательно, процесс не может замкнуться.
Ответ
Не может.
