Задача 66260

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC в точке O, пересекает луч CB в точке F. Описанная окружность треугольника FOD повторно пересекает прямую BC в точке G. Докажите, что  AG = AB.

Решение

Из условия следует, что  ∠GCA = ∠BCO = ∠FOB = 180° – ∠FOD = 180° – ∠FGD = ∠DGC.  Следовательно, AGCD – равнобокая трапеция и
AG = DC = AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1