ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66265
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тимохин М.

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что  AM = MD.  Докажите, что  ∠PMB = ∠QMB.


Решение

Пусть X, Y – точки пересечения прямых PM, QM с AD, а U – середина AD. Так как  AX : XD = BM : MC = YD : AY,  то  AX = YD  и  XU = UY  (см. рис.). Поэтому серединный перпендикуляр UM к отрезку AD является биссектрисой равнобедренного треугольника XMY, а перпендикулярная ему прямая BC – биссектрисой угла PMQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .