Задача 66265

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Тимохин М.

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что  AM = MD.  Докажите, что  ∠PMB = ∠QMB.

Решение

Пусть X, Y – точки пересечения прямых PM, QM с AD, а U – середина AD. Так как  AX : XD = BM : MC = YD : AY,  то  AX = YD  и  XU = UY  (см. рис.). Поэтому серединный перпендикуляр UM к отрезку AD является биссектрисой равнобедренного треугольника XMY, а перпендикулярная ему прямая BC – биссектрисой угла PMQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6