ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66268
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.


Решение 1

Обозначим через P' и Q' вторые точки пересечения окружности ω1 с AB и окружности ω2 с AC. Тогда  ∠MP'A = ∠MFP = ∠MCB,  то есть точка P' лежит на описанной окружности Ω треугольника BMC. Аналогично Q' лежит на Ω (см. рис.). Значит,  AP' : AQ' = AC : AB = AQ : AP,  то есть степени точки A относительно ω1 и ω2 равны. Следовательно, A лежит на радикальной оси MN этих окружностей.


Решение 2

Пусть AM пересекает PQ в точке K, а BC – в точке L. Тогда  EK : FK = BL : CL = PK : QK.  Следовательно,  PK·FK = QK·EK  и окружности ω1 и ω2 пересекают AM в одной и той же точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .