ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66269
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Признаки подобия ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  I и Ia – центры вписанной и вневписанной окружностей, A' точка описанной окружности, диаметрально противоположная A, AA1 – высота. Докажите, что  ∠IA'Ia = ∠IA1Ia.


Решение

  Поскольку  ∠A1AB = 90° – ∠B = 90° – ∠CA'A = ∠CAA'  и  ∠ACA' = 90°,  треугольники ACA' и AA1B подобны. Следовательно,  AA1·AA' = AB·AC.  С другой стороны,  ∠AIaC = B/2 = ∠ABI,  значит, треугольники AIB и ACIa подобны и  AI·AIa = AB·AC.
  Пусть точка A2 симметрична A1 относительно биссектрисы угла A. Тогда A2 лежит на AA' и, как показано выше,  AA2·AA' = AI·AIa.  Поэтому четырёхугольник IA2A'Ia – вписанный и  ∠IA'Ia = ∠IA2Ia = ∠IA1Ia  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .