ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66281
Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В классе 28 учеников. На уроке программирования они делятся на три группы. На уроке английского языка они тоже делятся на три группы, но по-другому. И на уроке физкультуры они делятся на три группы каким-то третьим способом. Докажите, что найдутся хотя бы два ученика, которые на всех трёх занятиях находятся друг с другом в одной группе.


Решение

  Первый способ. Пронумеруем группы на каждом из уроков: 1, 2, 3.
  Для каждого ребёнка напишем последовательность из трёх чисел: номер его группы на уроках программирования, английского языка и физкультуры. Всего существует ровно 27 различных последовательностей из трёх чисел, каждое из которых равно 1, 2 или 3. Поскольку детей в классе 28, то найдутся двое, последовательности которых совпадают. Но это и означает, что на всех трёх занятиях эти школьники находятся в одной группе.

  Второй способ. На уроке программирования 28 учеников разделены на три группы. В одной из них не менее 10 учеников  (27 : 3 > 9).  Во время урока английского эти ученики как-то распределены между тремя группами, значит, найдутся хотя бы четверо, попавшие в одну группу. На уроке физкультуры эти четверо не могут все находиться в разных группах, то есть найдутся хотя бы двое, в третий раз попавшие в одну группу.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2017
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .