ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66283
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли треугольная пирамида, среди шести рёбер которой:
  а) два ребра по длине меньше 1 см, а остальные четыре – больше 1 км?
  б) четыре ребра по длине меньше 1 см, а остальные два – больше 1 км?


Решение

а) Возьмём два равнобедренных треугольника со сторонами 0,9 см, 1001 км, 1001 км. Расположим их друг на друге в одной плоскости, а дальше "приподнимем" один из них над плоскостью, не трогая его основание. Иными словами, повернём один из треугольников вокруг прямой, содержащей основания треугольников. Понятно, что можно это сделать так, чтобы расстояние между вершинами треугольников было меньше 1 см.

б) Пусть в пирамиде есть два ребра, большие 1 км. Рассмотрим грань, содержащую одно из этих рёбер, но не содержащую другого. В силу неравенства треугольника в ней есть ребро длины, большей 0,5 км. Значит, рёбер длины, меньшей 1 см, не больше трёх.


Ответ

а) Существует;  б) не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2017
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .