Задача 66295

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Малая теорема Ферма ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть N – чётное число, которое не кратно 10. Найдите цифру десятков числа N²⁰.

Решение

Из условия следует, что N не делится на 5. Поэтому согласно малой теореме Ферма  N⁴ ≡ 1 (mod 5).  Поэтому
N²⁰ – 1 = (N⁴ – 1)(N¹⁶ + N¹² + N⁸ + N⁴ + 1)  делится на 5². Поскольку число N²⁰ чётно, то оно оканчивается на 26 или 76. Но число, оканчивающееся на 26, не делится на 4.

Ответ

7.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4.3