ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66303
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан квадрат ABCD. Первая окружность касается сторон угла A, вторая – сторон угла B, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону AB в её середине.


Решение

Пусть Oa, Ob – центры окружностей, Ta, Tb – точки их касания с AB, M – середина AB (см. рис.). Из условия следует, что  TaM = TbOb,  TbM = TaOa.  Следовательно, прямоугольные треугольники OaTaM и MTbOb равны, а  OaMObM.  Значит, прямая l, симметричная AB относительно OaM, будет также симметрична AB относительно ObM. Поскольку расстояния от центров окружностей до l равны их радиусам, l – общая касательная.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2017
класс
Класс 8
задача
Номер 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .