Задача 66306

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пятиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение  AK : BK  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Решение

Пусть L – вторая точка пересечения прямой l с окружностью (см. рис.). Тогда  AL = BL + CL = BK + AK  (см. задачу 52355). С другой стороны, так как KL делит AB пополам, площади треугольников AKL и BKL равны, то есть  AK·AL = BK·BL = BK².  Поэтому отношение  t = ^AK/_BK  удовлетворяет уравнению  t(1 + t) = 1,  корнем которого является отношение стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1