ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66306
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Пятиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение  AK : BK  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.


Решение

Пусть L – вторая точка пересечения прямой l с окружностью (см. рис.). Тогда  AL = BL + CL = BK + AK  (см. задачу 52355). С другой стороны, так как KL делит AB пополам, площади треугольников AKL и BKL равны, то есть  AK·AL = BK·BL = BK².  Поэтому отношение  t = AK/BK  удовлетворяет уравнению
t(1 + t) = 1,  корнем которого является отношение стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .