ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66310
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть BHb, CHc – высоты треугольника ABC. Прямая HbHc пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.


Решение

Пусть O – центр Ω. Так как прямая AO симметрична высоте AHa относительно биссектрисы угла A (см. задачу 52358), а  ∠AHbHc = ∠B,  то
AOHbHc,  то есть AO – серединный перпендикуляр к отрезку XY. Следовательно,  AP = AX = AY = AQ,  то есть точки P, X, Y, Q лежат на окружности с центром A (см. рис.). Поэтому прямые XY и PQ антипараллельны относительно прямых XP и YQ, которые параллельны высотам треугольника. Но BC и HbHc также антипараллельны относительно высот, значит,  PQ || BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2017
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .