Задача 66311

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Mahdi Etesami Fard

В прямоугольном треугольнике ABC точка D – середина высоты, опущенной на гипотенузу AB. Прямые, симметричные AB относительно AD и BD, пересекаются в точке F. Найдите отношение площадей треугольников ABF и ABC.

Решение

  Пусть CH – высота треугольника, K, L – точки пересечения прямой, проходящей через C параллельно AB, с AF и BF соответственно (см. рис.). Так как трапеция AKLB описана около окружности с диаметром CH, то KD и LD – биссектрисы углов AKL и BLK соответственно. Поэтому
∠CKD = 90° – ∠HAD,  то есть треугольники KCD и DHA подобны, а  KC = ^CD²/_AH = ^CH²/_4AH = ^BH/₄.  Аналогично  CL = ^BH/₄.

  Следовательно, отношение высот подобных треугольников FKL и FAB равно  1 : 4,  а отношение высот треугольников AFB и ABC –  4 : 3.

Ответ

4 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6