ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66350
Темы:    [ Правило произведения ]
[ Комбинаторика орбит ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?


Решение 1

  Количество способов рассадить шесть людей на шесть стульев равно 6!. Рассмотрим произвольную рассадку. Если в ней менять местами людей, сидящих друг за другом, то для этого есть  2³ = 8  различных способов, из которых ровно один удовлетворяет условию. Следовательно, искомых способов  6! : 8 = 90.


Решение 2

  Пронумеруем людей в порядке возрастания роста и подсчитаем количество рассадок, в которых люди в первом ряду упорядочены по номеру слева направо. Самым левым всегда будет человек с номером 1, за ним во втором ряду может сидеть любой из остальных. Во второй паре в первом ряду сядет человек с наименьшим доступным номером, а за ним может сидеть любой из троих оставшихся. Третья пара получается из оставшихся людей, и их можно усадить единственным образом.
  Таким образом, получается  5·3 = 15  упорядоченных рассадок. Каждая из них дает 6 перестановок, поэтому общее количество способов равно  15·6 = 90.


Ответ

90 способами.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 11
задача
Номер 11.1.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .