ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66356
Темы:    [ Средние величины ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  


Решение

  Для  n = 1  отрезок вырождается в точку, а утверждение, очевидно, верно. Далее считаем, что  n > 1.
  Пусть k – количество делителей числа  n = a².
  Оценка сверху. Количество собственных делителей равно  k – 2  и каждый из них не превосходит n/2. Значит, сумма всех делителей не больше чем
n/2 (k – 2) + n + 1 = nk/2 + 1.  Следовательно, их среднее арифметическое не превосходит  n/2 + 1/kn/2 + ½ = n+1/2.
  Оценка снизу. Пусть  d1d2 = n  и  d1d2,  тогда, как известно,    Все делители n (кроме a, если число a – целое) разбиваются на такие пары. В любом случае  d1 + d2 + ... + dk > ka.  Значит,  1/k (d1 + d2 + ... + dk) > a.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .