ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66377
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Признаки делимости (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 4,5,6
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Учительница написала на доске двузначное число и спросила Диму по очереди, делится ли оно на 2? на 3? на 4? … на 9? На все восемь вопросов Дима ответил верно, причём ответов «да» и «нет» было поровну.
а) Можете ли вы теперь ответить верно хотя бы на один из вопросов учительницы, не зная самого числа?
б) А хотя бы на два вопроса?


Решение

а) Покажем, что написанное число чётно. Если бы оно было нечётным, то на вопросы о делимости на 2, 4, 6 и 8 Дима ответил «нет», а тогда, стало быть, на вопросы о делимости на 3, 5, 7 и 9 он ответил "да". Но если число делится на 5, 7 и 9, то оно делится на 5 · 7 · 9 = 315 и не может быть двузначным. Значит, на первый вопрос учительницы можно с уверенностью ответить утвердительно.

б) Рассмотрим три числа – 18, 40 и 56 – и запишем в табличку ответы Димы (плюс означает "да", а минус – "нет").

Мы видим, что на все вопросы, кроме первого, ответы бывают разными, так что более ни на один вопрос гарантированно дать верный ответ мы, не зная числа, не сможем.

Комментарий. Покажем, как можно подобрать числа, при- ведённые в таблице. Пусть число делится на 8. Это значит, что оно делится также на 2 и на 4. Делиться на 3 оно не может, потому что тогда оно бы делилось ещё и на 6, а ответов "да" Дима дал ровно четыре. Значит, оно не делится на 3, не делится, стало быть, и на 9, а делится на 5 или на 7 (ровно на одно из них). То есть это 40 (или 80) либо 56.

Все три найденных числа делятся на 8 (и на 4) и не делятся на 9. Может быть, так будет всегда? Попробуем построить число, не делящееся на 8 и делящееся на 9. Оно тогда будет делиться на 3, кроме того, оно чётно, а поэтому разделится ещё и на 6. Вот уже четыре ответа "да", и мы получаем 18 (или 54).

Можно показать, что учительница могла написать одно из следующих восьми чисел: 12, 18, 30, 40, 42, 54, 56, 80.

Ответ

а) Да, на первый.
б) Нет, не зная числа, этого гарантированно сделать нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2018
класс
Класс 6
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .