|
|
 |
Условие
В ряд записаны всевозможные правильные несократимые дроби, знаменатели которых не больше ста. Маша и Света ставят знаки "+" или "–' перед любой дробью, перед которой знак еще не стоит. Они делают это по очереди, но известно, что Маше придётся сделать последний ход и вычислить результат действий. Если он получится целым, то Света даст ей шоколадку. Сможет ли Маша получить шоколадку независимо от действий Светы?
Решение
Заметим, что в указанном ряду нечетное количество дробей. Действительно, если правильная дробь a/b несократима, то и дробь 1 – a/b = (b – a)b является правильной и также несократима. Эти дроби различны, кроме одного случая: а = 1, b = 2. Таким образом, первый ход должна сделать Маша.
Тогда она может действовать следующим образом: первым ходом поставить любой знак перед дробью 1/2, например, знак “+”. Остальные дроби можно разбить на пары так, чтобы сумма дробей в каждой паре была равна 1. Поэтому далее со всеми дробями, кроме 1/4 и 3/4, можно придерживаться следующей стратегии: если Света ставит какой-то знак перед дробью a/b, то Маша ставит тот же знак перед дробью 1 – a/b. Тем самым, сумма всех дробей в таких парах будет целой.
Для дробей 1/4 и 3/4 стратегия изменяется: в ответ на знак, поставленный Светой перед одной из них, Маша должна поставить противоположный знак перед другой. Тогда ½ + ¼ – ¾ = 0 или ½ – ¼ + ¾ = 1, значит, результат, полученный Машей, будет целым.
