ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66396
Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Можно ли внутри выпуклого пятиугольника отметить 18 точек так, чтобы внутри каждого из десяти треугольников, образованных его вершинами, отмеченных точек было поровну?

Решение

Проведем все диагонали пятиугольника (см. рисунок). Десять треугольников, указанных в условии, можно разделить на две группы по пять: 1) треугольники, образованные двумя соседними сторонами и диагональю пятиугольника; 2) треугольники, образованные стороной и двумя диагоналями пятиугольника.

Рассмотрим пятиугольник, образованный точками пересечения диагоналей исходного пятиугольника и пять малых треугольников, прилежащих к сторонам исходного. В каждой из этих областей отметим по три точки. Любой из десяти треугольников, указанных выше, содержит ровно две выделенные области, значит, внутри каждого из них находится ровно шесть отмеченных точек.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Дата 2018-03-25
Номер 16 (2018 год)
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .