ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66402
Темы:    [ Параллелограммы: частные случаи (прочее) ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого.


Решение

Введем обозначения (см. рисунок). Докажем, что отрезок KL проходит через O – точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Заметим, что O – середина отрезка BD, то есть KO – средняя линия треугольника CBD. Тогда достаточно доказать параллельность прямых KL и CD. Пусть Q – точка пересечения диагоналей параллелограмма MKPL. Тогда KQ – средняя линия трапеции MBCP, то есть параллельна ее основаниям. Следовательно, прямые KL и CD параллельны, что и требовалось.

Комментарий. Также можно было провести через точку L прямую, параллельную BC и, рассмотрев точки X и Y пересечения этой прямой с прямыми AB и CD соответственно, использовать, что XBCY – параллелограмм и точка пересечения его диагоналей совпадает с точкой Q<>/i.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 8-9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .