|
|
 |
Условие
Биссектриса угла C и внешнего угла
A трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке
M, а биссектриса угла B и внешнего угла D – в точке N.
Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых AB и
CD.
Решение
Первый способ. Пусть K – середина MN, x и y – расстояния от точек M и N соответственно до основания AD, h – высота трапеции (см. рисунок).
Заметим, что расстояния от точки K до прямых AB и CD равны полусуммам соответствующих расстояний от точек M и N.
Найдем расстояние от точки K до прямой AB. Поскольку точка M лежит на биссектрисе внешнего угла A, то она равноудалена от прямых AB и AD. Аналогично, точка N равноудалена от прямых AB и BC. Следовательно, искомое расстояние равно 0,5(x + y + h).
Рассуждая аналогично, расстояние от точки K до прямой CD также равно 0,5(x + y + h), что и требовалось.
При некотором расположении точек длины отрезков могут войти в сумму с противоположным знаком. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.
Второй способ. Пусть биссектрисы углов B и C пересекаются в точке X, биссектрисы внешних углов A и D – в точке Y, а прямые AB и CD – в точке P (см. рисунок).
Заметим, что биссектрисы угла C и внешнего угла D параллельны как биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых BC и AD и секущей CD. Аналогично, параллельны биссектрисы угла B и внешнего угла A. Следовательно, четырехугольник MXNY – параллелограмм и середина отрезка MN лежит на прямой XY.
Докажем, что прямая XY содержит биссектрису угла APD. Действительно, точка X является центром вневписанной окружности треугольника BPC, так как лежит на пересечении биссектрис двух его внешних углов. Аналогично, точка Y – центр вневписанной окружности треугольника APD.
Таким образом, точки X и Y (а следовательно, и точка K) лежат на биссектрисе угла APD, откуда и следует искомая равноудаленность.
При некотором расположении вершин трапеции точки X и Y могут оказаться центрами вписанных окружностей. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.
Комментарий. Также можно рассмотреть точки Q и R – середины AB и CD соответственно. Тогда K – центр вневписанной окружности треугольника PQR.
