ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66403
Темы:    [ Биссектриса угла ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса угла C и внешнего угла A трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке M, а биссектриса угла B и внешнего угла D – в точке N. Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых AB и CD.

Решение

Первый способ. Пусть K – середина MN, x и y – расстояния от точек M и N соответственно до основания AD, h – высота трапеции (см. рисунок).

Заметим, что расстояния от точки K до прямых AB и CD равны полусуммам соответствующих расстояний от точек M и N.

Найдем расстояние от точки K до прямой AB. Поскольку точка M лежит на биссектрисе внешнего угла A, то она равноудалена от прямых AB и AD. Аналогично, точка N равноудалена от прямых AB и BC. Следовательно, искомое расстояние равно 0,5(x + y + h).

Рассуждая аналогично, расстояние от точки K до прямой CD также равно 0,5(x + y + h), что и требовалось.

При некотором расположении точек длины отрезков могут войти в сумму с противоположным знаком. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.

Второй способ. Пусть биссектрисы углов B и C пересекаются в точке X, биссектрисы внешних углов A и D – в точке Y, а прямые AB и CD – в точке P (см. рисунок).

Заметим, что биссектрисы угла C и внешнего угла D параллельны как биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых BC и AD и секущей CD. Аналогично, параллельны биссектрисы угла B и внешнего угла A. Следовательно, четырехугольник MXNY – параллелограмм и середина отрезка MN лежит на прямой XY.

Докажем, что прямая XY содержит биссектрису угла APD. Действительно, точка X является центром вневписанной окружности треугольника BPC, так как лежит на пересечении биссектрис двух его внешних углов. Аналогично, точка Y – центр вневписанной окружности треугольника APD.

Таким образом, точки X и Y (а следовательно, и точка K) лежат на биссектрисе угла APD, откуда и следует искомая равноудаленность.

При некотором расположении вершин трапеции точки X и Y могут оказаться центрами вписанных окружностей. Решение в этих случаях аналогично рассмотренному.

Комментарий. Также можно рассмотреть точки Q и R – середины AB и CD соответственно. Тогда K – центр вневписанной окружности треугольника PQR.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 8-9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .