ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66408
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мухин Д.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.

Решение

Первый способ. Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, r – ее радиус, см. рисунок слева. Заметим, что ∠EID = ∠AIB = 135°, а CI = (как диагональ квадрата со стороной r). Так как CI – диаметр окружности, описанной около треугольника EID, то по следствию из теоремы синусов DE = sin∠EID = r.

Второй способ. Пусть прямые CE и CD пересекают AB в точках X и Y соответственно, см. рисунок справа. Тогда треугольник CBX – равнобедренный и CE = XE. Аналогично, CD = YD. Следовательно, DE – средняя линия треугольника XCY, то есть DE = 0,5XY.

В свою очередь, XY = BX + AY – AB = BC + AC – AB = 2r, откуда и следует утверждение задачи.

Комментарий. Точка I – центр описанной окружности треугольника XCY.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 10-11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .