ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66409
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Гомотетия и поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Mudgal A.

Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.

Решение

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABD (см. рисунки). Заметим, что OMMB, а ONBC. Тогда нам достаточно доказать подобие треугольников MON и MBC, откуда и будет следовать перпендикулярность их третьих сторон.

Это можно сделать различными способами.

Первый способ. Пусть K и L – середины отрезков AD и BC соответственно (см. рисунок слева). Тогда ML||AC и MK||BD, то есть ∠KML = 90°. Следовательно, в треугольниках MOK и MBL соответствующие стороны перпендикулярны, то есть эти треугольники подобны и треугольник MBL является образом треугольника MOK при поворотной гомотетии с центром M, углом 90° и коэффициентом, равным отношению соответствующих сторон. Поскольку K – середина ON и L – середина BC, то при этом преобразовании точка N переходит в точку C, что и требовалось.

Второй способ. Заметим, что ∠MON = ∠MBC, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Тогда достаточно доказать, что OM:MB = ON:BC.

Пусть H – ортоцентр треугольника ABD (см. рисунок справа). Используем следующий факт:

Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра его описанной окружности до середины противолежащей стороны.

В нашем случае, ON = BH, то есть ON:BC = BH:BC = tg∠BCH. Учитывая, что OM:MB = ctg∠BOM = ctg∠BDA = ctg∠DBC= tg∠BCH, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 10-11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .