|
|
 |
Условие
Диагонали трапеции
ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB,
точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD
относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.
Решение
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABD (см. рисунки). Заметим, что OM⊥MB, а ON⊥BC. Тогда нам достаточно доказать подобие треугольников MON и MBC, откуда и будет следовать перпендикулярность их третьих сторон.
Это можно сделать различными способами.
Первый способ. Пусть K и L – середины отрезков AD и BC соответственно (см. рисунок слева). Тогда ML||AC и MK||BD, то есть ∠KML = 90°. Следовательно, в треугольниках MOK и MBL соответствующие стороны перпендикулярны, то есть эти треугольники подобны и треугольник MBL является образом треугольника MOK при поворотной гомотетии с центром M, углом 90° и коэффициентом, равным отношению соответствующих сторон. Поскольку K – середина ON и L – середина BC, то при этом преобразовании точка N переходит в точку C, что и требовалось.
Второй способ. Заметим, что ∠MON = ∠MBC, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Тогда достаточно доказать, что OM:MB = ON:BC.
Пусть H – ортоцентр треугольника ABD (см. рисунок справа). Используем следующий факт:
Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра его описанной окружности до середины противолежащей стороны.
В нашем случае, ON = BH, то есть ON:BC = BH:BC = tg∠BCH. Учитывая, что OM:MB = ctg∠BOM = ctg∠BDA = ctg∠DBC= tg∠BCH, получим требуемое.
