Задача 66412

Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ] [ Равногранный тетраэдр ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Нилов Ф.

На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.

Решение

Заметим, что грани равногранного тетраэдра – равные остроугольные треугольники, причем сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тогда этими треугольниками можно замостить плоскость (см. рисунок). Нетрудно заметить (раскрасив треугольники решётки в 4 цвета), что если поставить наш тетраэдр одной из граней на треугольник решётки, то при перекатывании через рёбра он всегда будет вставать на треугольник решётки; более того, на один треугольник решётки будет всегда вставать одна и та же грань тетраэдра. Тогда, поставив две точки на этой плоскости и соединив их линией, мы получим путь, соединяющий эти точки на поверхности тетраэдра (возможно, проходящий по одной и той же грани несколько раз).

Отметим точку K, в которой сидит первый муравей и эквивалентные ей точки, получающиеся из K параллельным переносом на удвоенные векторы сторон треугольника. Получим треугольную решетку из треугольников, подобных с коэффициентом 2 треугольникам граней. Рассмотрим точку M, в которой сидит второй муравей. Пусть она попала внутрь или на границу треугольника K₁K₂K₃. Тогда одно из расстояний MK₁, MK₂ или MK₃ до вершин не превосходит радиуса окружности, описанной около треугольника K₁K₂K₃, то есть диаметра описанной окружности грани. Действительно, точка O – центр описанной окружности треугольника K₁K₂K₃ – лежит внутри этого треугольника. Точка M попадает в один из равнобедренных треугольников OK₁K₂, OK₁K₃, OK₂K₃, тогда расстояние до одной из вершин не превосходит длины боковой стороны этого треугольника.

Комментарий. Отметим, что равенство достигается, если, например, одного муравья поместить в вершину тетраэдра, а другого – в ортоцентр противоположной грани. Действительно, сделав развертку тетраэдра, получим, что кратчайший путь равен диаметру описанной окружности грани.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2018-04-15
класс
Класс	10-11
задача
Номер	5