Задача 66421

Темы:    [ Прямоугольные треугольники ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Фольклор

В остроугольном треугольнике АВС биссектриса AN, высота BH и прямая, перпендикулярная стороне АВ и проходящая через ее середину, пересекаются в одной точке. Найдите угол ВАС.

Решение

Пусть Р – точка пересечения AN и BH (см. рисунок). Так как серединный перпендикуляр к стороне АВ проходит через точку Р, то РА = РВ, то есть треугольник АРВ – равнобедренный. Следовательно, ∠АВР = ∠ВАР = ∠РАН, так как АР – биссектриса угла ВАН. Кроме того, ∠АНВ = 90°, значит, сумма этих трех равных углов равна 90°, то есть каждый из них равен 30°. Тогда ∠ВАС = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	7
задача
Номер	7.3.2