ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73561
Тема:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через f(x, y) номер первой из задач x-го номера за y год. Напишите общую формулу для f(x, y), где 1 £ x £ 12 и 1970 £ x £ 1989. Решите уравнение f(x, y) = y.

Например, f(6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.

Решение

Функция f удовлетворяет следующим условиям: 1) f(1,1970)=1 ; 2) f(x+1,y)=f(x,y)+5 ( 1 x<12 )– за каждый месяц f(x,y) увеличивается на 5 ; 3) f(1,y+1)=f(1,y)+60 – за каждый год f(x,y) увеличивается на 60 . Ясно, что этими условиями функция однозначно определяется; ее можно задать, например, такой формулой:

f(x,y)=5x+60(y-1970)-4.

Нетрудно проверить, что f(5,2003)=2001 ; f(6,2003)=2006 . Поэтому уравнение f(x,y)=y не имеет решений. Из сказанного выше ясно, что если бы мы ввели еще такую функцию: f(k,x,y) – номер k -й задачи x -го номера журнала за y -й год ( 1 k 5 , 1 x 12 , y 1970 ), то уравнение f(k,x,y)=y имело бы единственное решение k=3 , x=5 , y=2003 – другими словами, если наша система сохранится до тех пор неизменной (по-прежнему в каждом номере будет пять задач по математике), то третья задача в задачнике "Кванта" #5 за 2003 год будет иметь номер M2003. (Примечание Problems.Ru – третья задача в задачнике "Кванта" 5 за 2003 год имеет номер M1878) Общая формула для f(k,x,y) такова:
f(k,x,y)=k+5x+60 (y-1970)-5.

Для читателей, пожалуй, полезнее формулы, задающие обратную функцию, которые по номеру n задачи позволяют найти год y и номер журнала x , в котором предлагалась эта задача. Для этого удобно использовать такие обозначения: [a] – целая часть числа a (наибольшее целое число, не превосходящее a ) и a=a-[a] – дробная часть числа a . Проверьте, что
x=[ 12 (n-1)/60 ]+1, y=[ (n-1)/60 ]+1970.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М26

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .