ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73575
Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите суммы
  а)   1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
  б)   Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(nk + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(nk)) + ... + ((nk + 1)(nk + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).


Решение

  а) Найдём сначала сумму вида   1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n.
  Заметим, что   3k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1).   Сложив эти равенства по k от 1 до  n – 1,  получим, что
     3(1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1).
  Вернёмся к решению задачи.
     1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1 = (n·n – (n – 1)n) + (n(n – 1) – (n – 2)(n – 1)) + (n(n – 2) – (n – 3)(n – 2)) + ... + n·1 =

     

  б) Заметим, что  
  Расположим в ряд  n + k  шаров. Каждое слагаемое вида     представляет собой число выборок по 2k шаров из этого ряда, но не всех возможных, а таких, когда сперва выбирают k из первых  k + m  шаров, а затем ещё k шаров из оставшихся  n – m.
  Суммирование таких слагаемых по m от 0 до  n – k  можно интерпретировать так: сначала вставим в ряд шаров перегородку, слева и справа от которой находится не менее, чем по k шаров, а потом выберем k шаров слева и k шаров справа от нее.
  Вместо этого можно поступить по-другому: возьмём ряд из  n + k + 1  шара и выберем  2k + 1  из них; затем средний из выбранных шаров заменим перегородкой.
  Отсюда ясно, что     и, следовательно,  


Ответ

а)     б)  

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М40

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .