Задача 73601

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Милованов А.И.

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел:

3² + 4² = 5²,

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65².

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

Решение

Докажем, что для каждого натурального k существует ровно одно натуральное n такое, что

(Заметьте, что в правой части равенства стоит (k-1) слагаемое, а в левой– k ). Равенство(1) эквивалентно следующим:

Таким образом, высказанное утверждение доказано: равенство(1) для натуральных k и n выполняется тогда и только тогда, когда n=2k²-2k . (При переходе от(3) к(4) мы воспользовались тем, что сумма (k-1) членов арифметической прогрессии (2n-k+2)+(2n-k+4)+...(2n+k-2) равна (k-1) ((2n-k+2)(2n+k-2))/2=2(k-1)n .) Тем самым мы получили искомую общую формулу. Ее можно записать, например, так:

где k – произвольное натуральное число. Примеры, приведенные в условия, получаются из нее при k , равном 2, 4 и 5 .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М66