|
|
 |
Условие
Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.
Решение
Пусть u³ = 1 – x, v³ = 1 + x. Из уравнения u + v = p получаем v³ + v³ + 3uv(u + v) = p³, откуда 2 + 3uvp = p³, то есть Теперь u³ и v³ находятся как корни квадратного уравнения
В итоге получаем
Поскольку то полученный ответ имеет смысл при p = –1 и 0 < p ≤ 2.
Однако при наших преобразованиях могли возникнуть посторонние корни. Действительно, уравнение u³ + v³ – p³ + 3uvp = 0 можно записать в виде
(u + v)³ – p³ – 3uv(u + v – p) = 0 ⇔ (u + v – p)(u² + v² + p² + up + pv – uv) = 0.
Левая часть равна нулю, когда хоть одна скобка равна нулю:
1) u + v – p = 0,
2) u² + v² + p² – (up + pv – uv) = 0.
Первое равенство – это наше исходное уравнение. Все посторонние решения связаны со вторым, и надо выяснить, когда оно выполняется. Умножив его на 2, получим: (u + p)² + (v + p)² + (u – v)² = 0. Это равенство выполняется только при u = v = – p, то есть при x = 0, p = – 1.
И действительно (1 + x)1/3 + (1 – x)1/3 ≠ –1 при x = 0.
Ответ
При при других значениях p таких x не существует.
Замечания
Ср. с выводом формулы Кардано в задаче 61262.
