ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73631
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.


Решение

Пусть a, b, c, d, e – данные числа. Тогда  (a + b + c – d – e)(a + c + d – b – e) = a² – (b + e – c – d)² ≤ a².
Аналогично
   (b + c + a – d – e)(b + d + e – c – a) ≤ b².
   (c + d + b – e – a)(c + e + a – d – b) ≤ c².
   (d + e + c – a – b)(d + a + b – e – c) ≤ d².
   (e + a + d – b – c)(e + b + c – a – d) ≤ e².
Осталось перемножить эти неравенства.

Замечания

Справедливо более общее утверждение:
   если даны  2n + 1  положительных чисел, причём разность между суммой любых  n + 1  чисел и суммой n остальных положительна, то произведение B всех      таких разностей и произведение A всех данных чисел связаны неравенством     

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М96

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .