ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73632
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A1B1, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A1B1, A2B2,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

Решение

Пусть A1 и B1 – середины диагоналей AC и BD трапеции, E и F – середины боковых сторон AD и BC (рис.2). Поскольку A1 F – средняя линия треугольника ACB , a B1 F – средняя линия треугольника DCB , то точки A1 и B1 лежат на отрезке EF и

a1=A1 B1=|A1 F-B1 F|=||.

(Эта формула верна независимо от того, какое из чисел a и b больше). Точно так же доказывается, что

где an=An Bn (n=1,2,3, ...) – интересующая нас последовательность. Тем самым задача сведена к чисто алгебраической задаче о последовательности, определяемой соотношением(eq97.1) с начальным членом a0=a>0 .

Если an>b , то an+1=<an-b . Поэтому если a>b , то каждый член последовательности будет меньше предыдущего по крайней мере на b до тех пор, пока не встретится член am такой, что am b (если a b , то положим m=0 , am=a0=a ; многие читатели рассматривали только этот случай; только он рассматривается и в книге "Математические задачи" (Е.Б.Дынкин, С.А.Молчанов, А.Л.Розенталь, А.К.Толпыго, "Математические задачи", изд.3-е "Наука", 1971, задача147.) .

Итак, мы рассматриваем теперь только n m .

Если an b , то an+1= <b . Таким образом, все следующие за am члены последовательности будут меньше b и поэтому при всех n m

Рис.97.3. Члены последовательности an , определяемой условиями a0=a , an+1=|| – абсциссы вершин ломаной, окрашенной в зеленый цвет. Звенья этой ломаной попеременно параллельны осям Ox , Oy , а ее вершины лежат попеременно на прямой с уравнением y=x и на графике функции y=|| .

Уравнение x= имеет единственное решение x= . Поэтому если у последовательности {an} существует предел, то он равен .

Пусть am . Положим an=n . Тогда из(eq97.2) следует, что n+1=- , т.е.

– при переходе от n к n+1 разность an-n меняет знак и по абсолютной величине уменьшается вдвое. Теперь все ясно: в последовательности an никакое число не может встретиться дважды, поскольку каждый член ближе к , чем предыдущий. Эта последовательность не монотонна, но стремится к пределу (рис.3, 4).

К сожалению, некоторые читатели пишут: "Поскольку последовательность не монотонная, она не стремится к пределу". Это рассуждение, конечно, неверно. Докажем строго, пользуясь определением предела, что

Пусть задано ε>0 . Тогда если n>N , где N=N(ε) – наименьшее целое число, для которого 2N ε>2mm| , то |an-|=|δn|=< . Тем самым(eq97.4) доказано.

Разумеется, предел равен и в том случае, когда am= – в этом случае все последующие члены тоже равны . Выясним, при каких значениях a возникает этот случай. Если m=0 , то a= . Если m=1 и a1== , то a= . Вообще, если am= , то a=a0 получается из am= после m -кратного применения формулы an-1=2an+b . Таким образом, как нетрудно проверить, значения a , при которых am= , составляют последовательность , , , ... , , ... При этих (и только этих) значениях a последовательность получается монотонной (и с некоторого места– постоянной).

Мы не выделили отдельно случай, когда am=b (при этом am+1=0 , am+2= , ... ),– с алгебраической точки зрения он ничем не примечателен, но соответствующие n=m и n=m+1 трапеции вырождаются в параллелограмм и в треугольник (точки Bm+1 и Cm+1 совпадают, рис.5); начиная с n=m+2 , получаются настоящие трапеции, и, как всегда, an стремится к пределу .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М97

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .